2016年湖南高考数学备考专项练习及答案-凯发k8国际首页登录
来源：学大教育 时间：2016-01-25
数学是一门国际性的学科，对各个方面都要求严谨，请考生认真练习。
2016年湖南高考数学备考专项练习及答案
题型一、直线和椭圆的位置关系
例1：如图所示，椭圆c1： =1(a>b>0)的离心率为，x轴被曲线c2：y=x2-b截得的线段长等于c1的短轴长。c2与y轴的交点为m，过坐标原点o的直线l与c2相交于点a，b，直线ma，mb分别与c1相交于点d，e。
(1)求c1，c2的方程;
(2)求证：ma⊥mb;
(3)记△mab，△mde的面积分别为s1，s2，若=λ，求λ的取值范围。
破题切入点：
(1)利用待定系数法求解曲线c1，c2的方程。
(2)设出直线ab和曲线c2联立，利用坐标形式的向量证明。
(3)将s1和s2分别表示出来，利用基本不等式求最值。
(1)解 由题意，a2=2b2。
又2=2b，得b=1。
所以曲线c2的方程：y=x2-1，椭圆c1的方程： y2=1。
(2)证明：设直线ab：y=kx，a(x1，y1)，b(x2，y2)，
由题意，知m(0，-1)。
则x2-kx-1=0=(x1，y1 1)·(x2，y2 1)
=(k2 1)x1x2 k(x1 x2) 1
=-(1 k2) k2 1=0，
所以ma⊥mb。
(3)解：设直线ma的方程：y=k1x-1，直线mb的方程：y=k2x-1，
由(2)知k1k2=-1，m(0，-1)，
由解得或
所以a(k1，k-1)。
同理，可得b(k2，k-1)。
故s1=ma·mb=·|k1||k2|。
由解得或
所以d。
同理，可得e。
故s2=md·m
则λ的取值范围是[， ∞)。
题型二、直线和双曲线的位置关系
例2：已知双曲线c：x2-y2=1及直线l：y=kx-1。
(1)若l与c有两个不同的交点，求实数k的取值范围;
(2)若l与c交于a，b两点，o是坐标原点，且△aob的面积为，求实数k的值。
破题切入点：
(1)联立方程组，利用δ>0求出k的取值范围。
(2)联立方程用根与系数的关系求解。
解：(1)双曲线c与直线l有两个不同的交点，
则方程组有两个不同的实数根，
整理得(1-k2)x2 2kx-2=0。
∴解得-|x2|时，
s△oab=s△oad-s△obd=(|x1|-|x2|)
=|x1-x2|;
当a，b在双曲线的两支上且x1>x2时，
s△oab=s△oda s△obd=(|x1| |x2|)
=|x1-x2|。
∴s△oab=|x1-x2|=，∴(x1-x2)2=(2)2，
即2 =8，解得k=0或k=±。
又∵-0，b>0)的上焦点为f，上顶点为a，b为虚轴的端点，离心率e=，且s△abf=1-。抛物线n的顶点在坐标原点，焦点为f。
(1)求双曲线m和抛物线n的方程;
(2)设动直线l与抛物线n相切于点p，与抛物线的准线相交于点q，则以pq为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点?如果是，试求出该点的坐标，如果不是，请说明理由。
破题切入点：
(1)根据双曲线的性质，用a，c表示已知条件，建立方程组即可求解双曲线的方程，然后根据抛物线的焦点求出抛物线的方程。
(2)设出点p的坐标，根据导数的几何意义求出切线方程，并求出点q的坐标，然后根据圆的性质列出关于点p的坐标的方程，将问题转化为方程恒成立的问题来解决。
解：(1)在双曲线中，c=，
由e=，得=，
解得a=b，故c=2b。
所以s△abf=(c-a)×b=(2b-b)×b
=1-，解得b=1。
所以a=，c=2，其上焦点为f(0，2)。
所以双曲线m的方程为-x2=1，
抛物线n的方程为x2=8y。
(2)由(1)知抛物线n的方程为y=x2，
故y′=x，抛物线的准线为y=-2。
设p(x0，y0)，则x0≠0，y0=x，
且直线l的方程为y-x=x0(x-x0)，
即y=x0x-x。由得
所以q(，-2)。
假设存在点r(0，y1)，使得以pq为直径的圆恒过该点，
也就是·=0对于满足y0=x(x0≠0)的x0，y0恒成立。
由于=(x0，y0-y1)，=(，-2-y1)，
由=0，
得x0· (y0-y1)(-2-y1)=0，
整理得-2y0-y0y1 2y1 y=0，
即(y 2y1-8) (2-y1)y0=0，
由于式对满足y0=x(x0≠0)的x0，y0恒成立，
所以解得y1=2。
故以pq为直径的圆恒过y轴上的定点，定点坐标为(0，2)。
总结提高：直线和圆锥曲线的位置关系问题，万变不离其宗，构建属于自己的解题模板，形成一定的解题思路，利用数形结合思想来加以解决。
1.设抛物线c：y2=2px(p>0)的焦点为f，直线l过f且与抛物线c交于m，n两点，已知当直线l与x轴垂直时，△omn的面积为2(o为坐标原点)。
(1)求抛物线c的方程;
(2)是否存在直线l，使得以mn为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y轴上，若存在，求直线l的方程;若不存在，请说明理由。
解：(1)当直线l与x轴垂直时，则|mn|=2p，
∴s△omn=·2p·==2，即p=2。
∴抛物线c的方程为y2=4x。
(2)∵直线l与x轴垂直时，不满足。设正方形的第三个顶点为p。
故可设直线l：y=k(x-1)(k≠0)，m(x1，y1)，n(x2，y2)，p(0，y0)，
联立可化简得k2x2-(2k2 4)x k2=0，
则代入直线l可得mn的中点为，
则线段mn的垂直平分线为y-=-(x-1-)，
故p(0， )。
又=0，则x1x2 (y1-y0)(y2-y0)=0。
即x1x2 y1y2-y0(y1 y2) y=0。
1-4-y0· y=0，化解得ky-4y0-3k=0，
由y0= 代入上式，化简得(3k4-4)(k2 1)=0。